20. 克拉默法则，逆矩阵，体积

码农世界 2024-05-18 前端 55 次浏览 0个评论

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1. A − 1 A^{-1} A−1的行列式
2. A − 1 = 1 d e t ( A ) C T A^{-1}=\frac{1}{det(A)}C^T A−1=det(A)1CT
3. 求体积
1. A − 1 A^{-1} A−1的行列式

对于一个2X2的行列式来说，其逆矩阵的行列式表示如下：
- C表示代数余子式
  ∣ a b c d ∣ − 1 = 1 a d − b c ∣ d − b − c a ∣ ; \begin{equation} \begin{vmatrix} a&b\\\\ c&d \end{vmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{vmatrix} d&-b\\\\ -c&a \end{vmatrix}; \end{equation} acbd −1=ad−bc1 d−c−ba ;
  2. A − 1 = 1 d e t ( A ) C T A^{-1}=\frac{1}{det(A)}C^T A−1=det(A)1CT
  - 我们要证明上述公式，我们对A，C 进行展开可得如下：
    A C T = d e t ( A ) \begin{equation} AC^T=det(A) \end{equation} ACT=det(A)
    M = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] [ C 11 C 21 ⋯ C n 1 C 12 C 22 ⋯ C n 2 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ C 1 n C 2 n ⋯ C n n ] \begin{equation} M=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\\\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C_{11}&C_{21}&\cdots&C_{n1}\\\\C_{12}&C_{22}&\cdots&C_{n2}\\\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\\\\C_{1n}&C_{2n}&\cdots&C_{nn} \end{bmatrix} \end{equation} M= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮ann C11C12⋮C1nC21C22⋮C2n⋯⋯⋯⋯Cn1Cn2⋮Cnn
    M 11 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + ⋯ + a n n C 1 n = d e t ( A ) \begin{equation} M_{11}=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\dots+a_{nn}C_{1n}=det(A) \end{equation} M11=a11C11+a12C12+⋯+annC1n=det(A)
    M 12 = a 11 C 21 + a 12 C 22 + ⋯ + a n n C 2 n = 0 \begin{equation} M_{12}=a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+\dots+a_{nn}C_{2n}=0 \end{equation} M12=a11C21+a12C22+⋯+annC2n=0
    - 所以可得矩阵M就是每个斜对角上都是det(A)的矩阵，当前行乘以其他行的代数余子式的和为；只需要将制定的行换成a所在的行，那么就得出结果为0；
      M = A C T = d e t ( A ) ⇒ A − 1 = 1 d e t ( A ) C T \begin{equation} M=AC^T=det(A) \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{det(A)}C^T \end{equation} M=ACT=det(A)⇒A−1=det(A)1CT
      3.克莱姆法则
    - 当A可逆的情况下
      A X = b ⇒ X = A − 1 b ⇒ X = 1 d e t ( A ) C T b \begin{equation} AX=b \Rightarrow X=A^{-1}b\Rightarrow X=\frac{1}{det(A)}C^Tb \end{equation} AX=b⇒X=A−1b⇒X=det(A)1CTb
    - 整理可得
      X = 1 d e t ( A ) C T b \begin{equation} X=\frac{1}{det(A)}C^Tb \end{equation} X=det(A)1CTb
      3. 求体积