数字信号处理

• 离散时间信号与系统

  • 周期延拓

    一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率Ωs = 2π / T 为间隔而重复。

  • 混频

    各周期的延拓分量产生频谱交替的现象

  • 奈奎斯特采样定理

    fs > 2fh

  • Z变换

    • 收敛域：使任意给定序列x(n)的Z变换收敛的所有z值的集合

      收敛域总是以极点限定其边界

    • 阿贝尔定理：

      如果幂级数在点 x 0 x_0 x0​ 处（ x 0 x_0 x0​ 不等于0）收敛，则对于适合不等式|x| < | x 0 x_0 x0​|的一切 x 使这幂级数绝对收敛。反之，如果幂级数在点 x1 处发散，则对于适合不等式|x| > |x1|的一切 x 使这幂级数发散。

      • Z反变换: x ( n ) = 1 2 π j ∮ c X ( z ) z n − 1 d z x(n)=\frac{1}{2πj}∮_cX(z)z^{n-1}dz x(n)=2πj1​∮c​X(z)zn−1dz

        • 柯西积分公式

          f ( z 0 ) = 1 2 π i ( ∮ c f ( z ) / ( z − z 0 ) d z ) f(z_0) =\frac{1}{2}πi (∮_c f(z)/(z-z_0) dz) f(z0​)=21​πi(∮c​f(z)/(z−z0​)dz)

          • 围线积分法（留数法）

            1 2 π j ∮ c X ( z ) z n − 1 d z = ∑ k R e s [ X ( z ) z n − 1 , z k ] \frac{1}{2πj}∮_cX(z)z^{n-1}dz=\sum_{k}^{}Res[X(z)z^{n-1},z_k] 2πj1​∮c​X(z)zn−1dz=k∑​Res[X(z)zn−1,zk​]

            • 部分分式展开法

              X ( z ) = ∑ k = 1 N A k 1 − d k z − 1 X(z) =\sum_{k=1}^{N}\frac{A_k}{1-d_kz^{-1}} X(z)=k=1∑N​1−dk​z−1Ak​​

              • 幂级数展开法（长除法）

                X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=n=−∞∑∞​x(n)z−n

                • 有理系统函数的单位脉冲响应

                  • 无限长单位脉冲响应系统（IIR系统）：系统的单位脉冲响应延伸到无穷长

                  • 有限长单位脉冲响应系统（FIR系统）：系统的单位脉冲响应是一个有限长的序列

                    • 通信电子线路

                      • LC谐振回路

                        • 空载LC并联谐振回路

                          

                          Q 0 = ω 0 L r = 1 ω 0 C r = R 0 ω 0 L = R 0 ω 0 C Q_0=\frac{\omega_0L}{r}=\frac{1}{\omega_0Cr}=\frac{R_0}{\omega_0L}=R_0\omega_0C Q0​=rω0​L​=ω0​Cr1​=ω0​LR0​​=R0​ω0​C

                          • 有载LC并联谐振回路

                            

                            • 空载LC串联谐振回路

                              

                              • 有载LC串联谐振回路