时间复杂度与空间复杂度

• 数据结构
• 算法
• 算法效率
• 时间复杂度
• • 大O的渐进表示法
  • 空间复杂度
  • 常见复杂度对比

    数据结构

    数据结构是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种一种或者多种特定关系的数据元素的集合

    数据结构就是内存中对数据进行管理

    算法

    算法就是定义良好的计算过程，它取一个或者一组的值输入，并产生处一个或者一组作为输出，简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化为输出数据

    算法效率

    算法效率分为：

    时间效率

    空间效率

    算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间资源。因此衡量一个算法的好换，一般是从时间和空间俩个维度来衡量，即时间复杂度和空间复杂度。

    • 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
    • 空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间

      时间复杂度

      时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数（数学中的函数），它定量描述了该算法的运行空间。

      一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

      找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

      大O的渐进表示法

      • 大O符号：用于描述函数渐进行为的数学符号

        推导大O阶方法：

        1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数（不是代表一次，而是代表常数次）

        eg:O(1)

        2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

        3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶

        N²+2N的时间复杂度为:O(N²)

        • 大O渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示执行次数

          算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏的情况：

          最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）

          平均情况：任意输入规模的期望运行次数

          最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

          • 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以在数组中搜索数据时间复杂度为O（N）

            log以2为底的对数不好写，一般写成logN.其他底数不能简写，

            例1：

            //Func1的时间复杂度为O(N)
            void Func1(int N)
            {
            	int i = 0;
            	int count = 0;
            	for (i = 0; i < N; i++)
            	{
            		++count;
            	}
            	int m = 10;
            	while (m)
            	{
            		--m;
            	}
            	printf("%d\n",count);
            }
            

            例2：

            //Func2的时间复杂度为O(N)
            void Func2(int N)
            {
            	int count = 0;
            	int i = 0;
            	for (i = 0; i < N; i++)
            	{
            		++count;
            	}
            	for (i = 0; i < N; i++)
            	{
            		++count;
            	}
            	printf("%d\n",count);
            }
            

            例3：

            //Func3的时间复杂度为O(1)
            void Func3()
            {
            	int count = 0;
            	int i = 0;
            	for (i = 0; i < 100; i++)
            	{
            		++count;
            	}
            	printf("%d\n",count);
            }
            

            例5：

            // strchr的时间复杂度为O(N)
            const char* strchr(const char* str, int character);
            

            例6：

            // BubbleSort的时间复杂度为O(N^2)
            void BubbleSort(int* a, int n)
            {
            	assert(a);
            	for (size_t end = n; end > 0; --end)
            	{
            		int exchange = 0;
            		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
            		{
            			if (a[i - 1] > a[i])
            			{
            				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
            				exchange = 1;
            			}
            		}
            		if (exchange == 0)
            			break;
            	}
            }
            

            例7：

            // BinarySearch的时间复杂度O(logN)
            int BinarySearch(int* a, int n, int x)
            {
            	assert(a);
            	int begin = 0;
            	int end = n - 1;
            	while (begin < end)
            	{
            		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
            		//使用右移操作符相当于除以2
            		if (a[mid] < x)
            			begin = mid + 1;
            		else if (a[mid] > x)
            			end = mid;
            		else
            			return mid;
            	}
            	return -1;
            }
            

            例8：

            // 阶乘递归Fac的时间复杂度为O(N)
            long long Fac(size_t N)
            {
            	if (0 == N)
            		return 1;
            	return Fac(N - 1) * N;
            }
            

            例子9：

            // 斐波那契递归Fib的时间复杂度为O(2^N)
            long long Fib(size_t N)
            {
            	if (N < 3)
            		return 1;
            	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
            }
            

            空间复杂度

            空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时（额外）占用存储空间的大小的量度。

            空间复杂度不是程序占用了多少字节的空间，空间复杂度计算的是变量的个数，空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

            • 注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数，局部变量，一些寄存信息等）在编译期间以及确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时显示申请的额外空间来确定。

              大部分的空间复杂度为O(1)或者O(N)

              例1：

              // BubbleSort的空间复杂度为O(1)
              void BubbleSort(int* a, int n)
              {
              	assert(a);
              	for (size_t end = n; end > 0; --end)
              	{
              		int exchange = 0;
              		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
              		{
              			if (a[i - 1] > a[i])
              			{
              				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
              				exchange = 1;
              			}
              		}
              		if (exchange == 0)
              			break;
              	}
              }
              

              例2：

              // Fibonacci的空间复杂度为O(N)
              long long* Fibonacci(size_t n)
              {
              	if (n == 0)
              		return NULL;
              	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
              	fibArray[0] = 0;
              	fibArray[1] = 1;
              	for (int i = 2; i <= n; ++i)
              	{
              		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
              	}
              	return fibArray;
              }
              

              例3：

              // 阶乘递归Fac的空间复杂度为O(N)
              long long Fac(size_t N)
              {
              	if (N == 0)
              		return 1;
              	return Fac(N - 1) * N;
              }
              

              常见复杂度对比

              函数	复杂度	说明
              12345	O(1)	常数阶
              5N+5	O(N)	线性阶
              6N^2+7N-8	O(N^2)	平方阶
              3log(2)N+4	O(log4)	对数阶
              4Nlog(2)N+5N+12	O(NlogN)	NlogN阶
              N3+N2	O(N3)	立方阶
              3N	O(3N)	指数阶