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前提条件：

类型：对称矩阵，三角矩阵、三对角矩阵、稀疏矩阵

1：对称矩阵：

定义：n阶矩阵A 中任意一元素都有ai,j=aj,i(1<=i,j<=n)

图像：

表达式：

计算过程：

2：三角矩阵

概念：

前提：

下三角表达式：

计算逻辑：

上三角表达式：

计算逻辑：

---

前提条件：

        矩阵元素通常写成 ai,j ， i，j表示行号和列号是从1开始。

        二维数组元素写成a[i][j]， i，j表示元素下标一般是从0开始。

        一维数组元素写成ai， i表示元素下标，一般从0开始。

类型：对称矩阵，三角矩阵、三对角矩阵、稀疏矩阵

        其中三对角和稀疏矩阵不做讲解

1：对称矩阵：

储存下三角按行有限储存如下：

        定义：n阶矩阵A 中任意一元素都有ai,j=aj,i(1<=i,j<=n)

        图像：

        表达式：

$$

\huge k = \begin{cases} \frac{i(i-1)}{2} + j-1,\quad i \geqslant j \\ frac{j(j-1)}{2} + i-1, \quad j > i \end{cases} \tag{1}

$$

计算过程：

思考：当问题是按照上三角 且 按行压缩存储时，公式应该如何写？

其实处理逻辑是相通的，都是在求ai,j 前面有多少个元素的表达式，继续分成前i-1行前元素之和与第i行前元素的求和。

2：三角矩阵

概念：

        ”下三角矩阵“：代表下三角域及主对角线元素无规律，而上三角区域中所有元素都相等。

        “上三角矩阵”：代表上三角域及主对角线元素无规律，而下三角区域中所有元素都相等。

前提：

        压缩后共有 $$\frac{i(i+1)}{2} + 1$$
个元素。故数组B初始化为 B【(i(i+1))/2 + 1】,B数组下标从 0 -（n(n+1)/2。

        解释：上三角（或下三角）加主对角线共有 \huge \frac{i(i+1)}{2}个元素，而上三角全部都用1个元素来表示。

下三角表达式：

$$

\huge k = \begin{cases}\frac{i(i-1)}{2} + j-1,\quad i \geqslant j \\ \frac{n(n+1)}{2} , \quad j > i\end{cases}\tag{2}

$$

        计算逻辑：

        下三角矩阵的计算方式和对称矩阵当 i >=  j 时计算逻辑是相同的，当j>i时，直接就在B中最后一个元素。

上三角表达式：

按行优先级压缩：先对行进行压缩

$$

\huge k = \begin{cases}\frac{(i-1)(2n-i+2)}{2} + j-i,\quad j \geqslant i \\ \frac{n(n+1)}{2} , \quad i > j\end{cases}\tag{1}

$$

        计算逻辑：

按列优先级压缩：先对列进行压缩

        计算逻辑

        按列优先级的上三角矩阵的计算方式和对称矩阵当 j > i 时计算逻辑是相同的，当i >= j时，直接就在B中最后一个元素。