文章目录

• 前言
• 正文
• • 矩阵和向量相乘
  • 二维变换
  • • 1、缩放
    • 2、旋转
    • 3、平移
    • 4、齐次坐标下总结
    • 三维变换
    • • 1、缩放
      • 2、平移
      • 3、旋转
      • • 绕X轴旋转：
        • 绕Z轴旋转：
        • 绕Y轴旋转：
        • 结尾：喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦

          前言

          前面章节补充了一下基本的线性代数中关于向量和矩阵的背景知识，这一节咱们讲解一下在二维和三维中常用的空间变换，主要包括：平移、旋转、缩放等！

          正文

          矩阵和向量相乘

          假设有一个矩阵 M M M，有一个向量 P = ( x y ) P = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} P=(xy​)，则令 P ⃗ ′ = M × P ⃗ = ( x ′ y ′ ) \vec P' = M \times \vec P = \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} P ′=M×P =(x′y′​).

          从上节，我们已经知道矩阵和向量相乘结果还是个向量，假设我们把向量 P P P 看作一个坐标，那么 P ′ P' P′ 的坐标就是矩阵 M M M 应用之后的结果，此时我们称对点 P P P应用矩阵 M M M的变换。

          二维变换

          假设在二维空间下，矩阵 M M M 是2x2的，向量 P = ( x y ) P = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} P=(xy​) 是二维向量。

          矩阵乘向量在二维空间本质理解： 假设我们将 M M M 按照列方向，分解成两个列向量 ( α 1 ⃗ , α 2 ⃗ ) (\vec{\alpha_1}, \vec{\alpha_2}) (α1​ ​,α2​ ​)，则 P ′ ⃗ = ( x α 1 ⃗ + y α 2 ⃗ ) \vec{P'} = (x\vec{\alpha_1} + y\vec{\alpha_2}) P′ =(xα1​ ​+yα2​ ​)

          结果表明： 矩阵和向量相乘，就相当于向量的轴分量作为权重，给矩阵的列向量加权求和！

          类似的，我们也可以把矩阵按照行向量分解，也可以表达成矩阵的行向量加权相加的形式。只不过列向量分解形式更为常见！

          1、缩放

          缩放矩阵M如下， S x S_x Sx​ 为x轴向的缩放因子， S y S_y Sy​ 为y轴向的缩放因子。

          [ s x 0 0 s y ] \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y\\ \end{bmatrix} [sx​0​0sy​​]

          则 P ′ = M P = [ s x 0 0 s y ] ∗ ( x y ) = ( s x ∗ x s y ∗ y ) P' = MP = \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y\\ \end{bmatrix} * \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x * x\\s_y * y \end{pmatrix} P′=MP=[sx​0​0sy​​]∗(xy​)=(sx​∗xsy​∗y​)

          举个例子： M = [ 0.5 0 0 0.5 ] M = \begin{bmatrix} 0.5& 0\\ 0 & 0.5\\ \end{bmatrix} M=[0.50​00.5​] ， P = ( 2 2 ) P = \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} P=(22​)，则 P ′ = ( 1 1 ) P' = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} P′=(11​)，如下图所示：

          2、旋转

          默认地，正角度旋转代表逆时针，如下图所示的红色正方形，就是旋转45°

          旋转矩阵 R θ R_\theta Rθ​ 如下：

          [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta\\ \end{bmatrix} [cosθsinθ​−sinθcosθ​]

          基本推导如下图：

          我们使用最笨的待定系数法求解，将矩阵 R θ R_{\theta} Rθ​ 设为 [ A B C D ] \begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix} [AC​BD​]，然后将两个点的前后结果带入计算，如下：

          [ A B C D ] ( 1 0 ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) ， [ A B C D ] ( 0 1 ) = > ( − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) \begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos{\theta}\\\sin{\theta} \end{pmatrix}， \begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} => \begin{pmatrix} -\sin{\theta}\\\cos{\theta} \end{pmatrix} [AC​BD​](10​)=(cosθsinθ​)，[AC​BD​](01​)=>(−sinθcosθ​)

          所以自然得到：

          A = cos ⁡ θ B = − sin ⁡ θ C = sin ⁡ θ D = c o s θ \begin{align} A &= \cos \theta\\ B &= -\sin \theta\\ C &= \sin \theta\\ D &= cos \theta\\ \end{align} ABCD​=cosθ=−sinθ=sinθ=cosθ​​

          3、平移

          平移就是让x轴和y轴的坐标分别偏移一定的量，如下图所示：

          x ′ = x + t x y ′ = y + t y x' = x + t_x\\ y' = y + t_y x′=x+tx​y′=y+ty​

          我们记 P = ( x y ) P = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} P=(xy​) ， P ′ = ( x ′ y ′ ) P' = \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} P′=(x′y′​)， T = ( t x t y ) T = \begin{pmatrix} t_x\\t_y \end{pmatrix} T=(tx​ty​​) ，则上述可以表示为 P ′ ⃗ = P ⃗ + T ⃗ \vec{P'} = \vec P + \vec T P′ =P +T

          但是我们发现，上述的形式没有用上矩阵，但在数学、物理中，人们都讲究统一，因此人们引入了齐次坐标的概念。

          为了迎合平移也能统一使用矩阵进行变换，认为的给二维的向量添加一个维度，升为三维，如下：

          p o s i t i o n = ( x y 1 ) ， v e c t o r = ( x y 0 ) position = \begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}，vector = \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} position= ​xy1​ ​，vector= ​xy0​ ​

          我们发现，位置向量咱们第三维补充1，方向向量咱们第三维补充0。

          于是，咱们自然而然就可以定义出平移矩阵T，如下：

          T = [ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ] 注： t x 表示 x 轴的偏移量， t y 表示 y 轴的偏移量 T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 注：t_x 表示x轴的偏移量，t_y表示y轴的偏移量 T= ​100​010​tx​ty​1​ ​注：tx​表示x轴的偏移量，ty​表示y轴的偏移量

          于是，针对位置点的平移、以及位置向量的平移计算结果如下：

          我们发现，方向向量的结果没有变化，这难道出问题了么？并没有，因为方向向量本身就是位置无关的，不变才是对的，而针对某个顶点是变化了的，这就符合咱们的要求！

          4、齐次坐标下总结

          引入齐次坐标后，缩放和旋转矩阵多了一个维度，这里列举一下：

          缩放矩阵：

          S = [ s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 ] S = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} S= ​sx​00​0sy​0​001​ ​

          旋转矩阵：

          R = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R= ​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​ ​

          平移矩阵：

          T = [ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ] T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ T= ​100​010​tx​ty​1​ ​

          三维变换

          首先，由于多引入了一个维度，复杂度上升。坐标系自然而然分为两种：左手系、右手系，示意图如下：

          **为了方便，后续三维空间中的矩阵变换讲解以右手系为例！**左手系也是类似，大家熟练之后可自行推导！

          同理，在三维坐标系下，同样为了统一平移的操作，引入齐次坐标后，变换矩阵都是4x4的，这里不多赘述！

          1、缩放

          由于缩放最是容易，也最容易理解，这里直接给出缩放矩阵：

          S = [ s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 ] 注： s x 、 s y 、 s z 分别为 x 、 y 、 z 轴的缩放比例 S = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 注：s_x、s_y、s_z分别为x、y、z轴的缩放比例 S= ​sx​000​0sy​00​00sz​0​0001​ ​注：sx​、sy​、sz​分别为x、y、z轴的缩放比例

          2、平移

          也是类似，这里直接给出平移矩阵：

          T = [ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] 注： t x 、 t y 、 t z 分别为 x 、 y 、 z 轴的偏移量 T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 注：t_x、t_y、t_z分别为x、y、z轴的偏移量 T= ​1000​0100​0010​tx​ty​tz​1​ ​注：tx​、ty​、tz​分别为x、y、z轴的偏移量

          3、旋转

          由于三维世界中，旋转并不是绕一个点，而是绕一个旋转轴，所以最简单的旋转就是绕：x、y、z轴的旋转。

          旋转规则： 绕某个轴旋转 θ \theta θ 角度，就是表明逆着此轴的方向眼睛看过去，逆时针旋转 θ \theta θ 角度。

          例如如下示意图就是绕z轴旋转 θ \theta θ 角度：

          并且我们一定要理解，绕z轴转动时，所有点的z坐标是不会变化的！

          这里需要对照二维空间中的旋转矩阵的理解，本质上：二维旋转就是将两个相互垂直的基向量作为坐标轴，逆时针旋转的结果

          所以，上述的绕z轴的旋转，可以理解为基向量就是 ( 1 0 0 ) \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} ​100​ ​ 和 ( 0 1 0 ) \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} ​010​ ​

          这里给出一个基本任意正交基向量 i ⃗ 、 j ⃗ \vec{i}、\vec{j} i 、j ​ 的旋转示意图：

          绕X轴旋转：

          示意图如下：

          因此，我们只是将基向量变成 ( 0 1 0 ) \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} ​010​ ​ 和 ( 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} ​001​ ​

          所以，很容易构造出以下等式：

          [ 1 0 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 0 1 ] ( x i j 1 ) = ( x cos ⁡ θ ∗ i − sin ⁡ θ ∗ j sin ⁡ θ ∗ i + cos ⁡ θ ∗ j 1 ) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \begin{pmatrix} x\\i\\j\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x\\\cos{\theta}*i - \sin{\theta} * j\\\sin{\theta}*i + \cos{\theta} * j\\1 \end{pmatrix} ​1000​0cosθsinθ0​0−sinθcosθ0​0001​ ​ ​xij1​ ​= ​xcosθ∗i−sinθ∗jsinθ∗i+cosθ∗j1​ ​

          自然而然可以得出，绕x轴的旋转矩阵如下：

          R x = [ 1 0 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 0 1 ] R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rx​= ​1000​0cosθsinθ0​0−sinθcosθ0​0001​ ​

          绕Z轴旋转：

          同理，示意图：

          容易构造出以下等式：

          [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ( i j z 1 ) = ( cos ⁡ θ ∗ i − sin ⁡ θ ∗ j sin ⁡ θ ∗ i + cos ⁡ θ ∗ j z 1 ) \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \begin{pmatrix} i\\j\\z\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos{\theta}*i - \sin{\theta} * j\\\sin{\theta}*i + \cos{\theta} * j\\z\\1 \end{pmatrix} ​cosθsinθ00​−sinθcosθ00​0010​0001​ ​ ​ijz1​ ​= ​cosθ∗i−sinθ∗jsinθ∗i+cosθ∗jz1​ ​

          自然而然可以得出，绕z轴的旋转矩阵如下：

          R z = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] R_z = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz​= ​cosθsinθ00​−sinθcosθ00​0010​0001​ ​

          绕Y轴旋转：

          Y轴相比X和Z比较特殊，也是新手初学三维空间旋转最容易困惑的地方。但在咱们这里不存在，示意图如下：

          容易构造出以下等式：

          [ cos ⁡ θ 0 sin ⁡ θ 0 0 1 0 0 − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ 0 0 0 0 1 ] ( j y i 1 ) = ( sin ⁡ θ ∗ i + cos ⁡ θ ∗ j y cos ⁡ θ ∗ i − sin ⁡ θ ∗ j 1 ) \begin{bmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \begin{pmatrix} j\\y\\i\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sin{\theta}*i + \cos{\theta} * j\\y\\\cos{\theta}*i - \sin{\theta} * j\\1 \end{pmatrix} ​cosθ0−sinθ0​0100​sinθ0cosθ0​0001​ ​ ​jyi1​ ​= ​sinθ∗i+cosθ∗jycosθ∗i−sinθ∗j1​ ​

          咱们发现，这里的形式稍微较绕x和绕z不一样了

          本质就是因为这里的正交基分别是： ( 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} ​001​ ​ 和 ( 1 0 0 ) \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} ​100​ ​

          自然而然可以得出，绕y轴的旋转矩阵如下：

          R y = [ cos ⁡ θ 0 sin ⁡ θ 0 0 1 0 0 − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ 0 0 0 0 1 ] R_y = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Ry​= ​cosθ0−sinθ0​0100​sinθ0cosθ0​0001​ ​

          结尾：喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦

          希望对各位小伙伴能够有所帮助哦，永远在学习的道路上伴你而行， 我是航火火，火一般的男人！